一、椭圆型方程能量积分渐近展开的乘积定理（论文文献综述）
鄢立旭[1]（2021）在《几类分数阶随机发展方程的解和控制问题》文中研究表明随机偏微分方程是一类包含随机过程或随机场的偏微分方程。将偏微分方程和随机性联系起来的思想可追溯到20世纪50年代。分数阶随机偏微分方程是近年来一个新兴的研究领域。分数阶微积分固有的多尺度性使得其更适用于刻画反常扩散、记忆效应和分形等自然现象。但由于分数阶微积分的非局部性和强奇异性,导致目前关于分数阶随机偏微分方程的相关结论还比较少。分数阶Brown运动由Kolmogorov于1940年左右提出,目前已被广泛应用于各种物理现象。分数阶Brown运动是标准Brown运动的推广,但是分数阶Brown运动既不是半鞅也不是Markov过程,从而在研究分数阶Brown运动时要注意其随机积分是否有意义。Poisson跳是一类重要的随机过程,利用它可以构造一般的独立增量过程。综上所述,研究分数阶Brown运动和Poisson跳驱动的分数阶随机偏微分方程具有重要的理论意义和实际意义。本论文研究几类分数阶随机偏微分方程解的存在唯一性、最优控制的存在性和相应控制系统的渐近能控性。首先,研究一类Gauss随机场驱动的空间分数阶随机反应扩散系统。分数阶Laplace算子是非局部算子,在计算时比标准Laplace的情形更复杂。本论文基于分数阶Laplace算子特征值和特征函数的性质,利用Gal¨erkin方法,结合CrandalLiggett定理,在非线性项满足极大耗散和一定的增长性条件下,先得到弱解的一个一致估计,然后证明系统存在唯一的弱解。此外,对一类二次消耗泛函最优控制的存在性进行讨论,并且给出具体例子说明结论。其次,研究一类分数阶Brown运动和Poisson跳驱动的时间-空间分数阶随机扩散方程。这类问题的难点在于方程同时具有分数阶Brown运动、Poisson跳、Caputo时间分数阶导数和分数阶Laplace算子。本论文利用迭代技巧,给出这类方程温和解存在唯一的充分条件。进一步,研究一类非凸消耗泛函最优控制的存在性,并给出两个例子说明结论。最后,研究一类具延迟混合噪声驱动的时间-空间分数阶随机扩散方程。具延迟的控制系统的能控性比无延迟的更复杂。本论文分别讨论线性分数阶噪声驱动的情形和非线性分数阶噪声驱动的情形。利用逼近解序列,证明线性噪声驱动时温和解的存在唯一性。利用不动点理论,证明非线性噪声驱动时温和解的存在唯一性。然后,利用温和解的性质,探讨相应控制系统的渐近能控性。目前,研究分数阶随机偏微分方程和分数阶Brown和Poisson跳驱动的随机偏微分方程的文献不是很多,分数阶Brown和Poisson跳驱动的时间-空间分数阶随机偏微分方程方面的文章更少。本论文的研究旨在丰富该方向上的理论,促进该研究领域的发展。
乔艳芬[2]（2021）在《无界Hamilton算子广义本征向量组的基性质研究》文中认为20世纪90年代初,钟万勰院士为求解固体力学中出现的一些瓶颈问题,提出了辛体系方法.该方法克服了传统半逆方法求解高阶控制偏微分方程（组）的困难以及对解的形式的主观推测,扩大了解析求解的范围,在应用力学等诸多领域得到了迅速的发展.辛体系方法的数学基础依赖于无穷维Hamilton算子广义本征向量组的块状Schauder基性质,基于这一性质,便可理性求解一些尚未获解的偏微分方程（组）.本文从理论及应用两方面探讨了一些无界Hamilton算子广义本征向量组的块状Schauder基性质.理论方面的研究思路是给出一些抽象无界算子矩阵广义本征向量组的块状Schauder基性质的等价刻画,然后将理论结果应用到具体的力学模型中;而应用方面的研究思路是将一些具体力学方程（组）转化成与之等价的无穷维Hamilton系统,再证明相应Hamilton算子的广义本征向量组能构成某个Hilbert空间中的块状Schauder基,进而给出原问题的解析解.理论研究方面,首先考虑了一类2×2 Hamilton算子矩阵广义本征向量组的块状Schauder基性质,建立了这类算子矩阵的广义本征向量组的块状Schauder基性质与由它导出的二次算子族的广义本征向量组的Schauder基性质的等价关系,进而展示了对边简支矩形薄板弯曲问题导出的一类4×4 Hamilton算子的广义本征向量组是相应Hilbert空间中的块状Schauder基;其次讨论了一类3×3算子矩阵广义本征向量组的块状Schauder基性质,得到了这类算子矩阵的广义本征向量组的块状Schauder基性质与由它导出的两类算子族的广义本征向量组的Schauder基性质的等价描述,作为应用,考察了对边简支矩形中厚板问题导出的两类6×6斜对角Hamilton算子斜对角块乘积算子的广义本征向量组的块状Schauder基性质;然后探究了一类4×4 Hamilton算子矩阵广义本征向量组的块状Schauder基性质,给出了这类算子矩阵的广义本征向量组是某个Hilbert空间中的块状Schauder基的充要条件,并将所得结论运用于对边简支矩形薄板的自由振动和弯曲问题.应用研究方面,我们利用辛体系方法建立了一类源于弹性力学的偏微分方程的统一求解框架,重点讨论了其在板结构中的应用.通过引入适当的状态函数,这类偏微分方程被转化成了与之等价的无穷维可分Hamilton系统,进而证明了相应斜对角Hamilton算子的广义本征向量组能构成某个Hilbert空间中的块状Schauder基,这为辛体系方法的顺利实施提供了理论保证.利用基性质定理和辛叠加技巧,得到了以这类偏微分方程为控制方程的四边固支矩形薄板弯曲、屈曲以及自由振动问题的解析解,并通过数值算例验证了解析解的正确性.值得一提的是,我们还利用辛体系方法分析了二维八次对称准晶体的平面弹性问题.在辛空间Hamilton体系的框架下,我们得到了点群8mm八次对称准晶体平面弹性问题的解析解,通过数值计算结果的对比分析,证实了解析解的正确性和收敛性.另外,我们导出了富有挑战性的Laue 15类八次对称准晶体平面弹性问题的无穷维Hamilton系统以及最终控制方程,这对用辛体系方法或半逆方法进一步分析该问题有很大的帮助.本文展示的方法对某些应用力学模型的研究以及某些偏微分方程（组）的求解具有一定的借鉴意义,相关的结论为Hamilton体系框架下的分离变量法提供了理论保证,一些新的解析解可作为验证其它数值方法的基准.
陈亮[3]（2021）在《单极半导体流体动力学模型音速边值问题的适定性》文中认为本文考虑三类单极半导体流体动力学（HD）模型音速边值问题的适定性.第一章首先介绍了半导体HD模型的研究背景与研究现状,并简要概述本文的主要结果.在第二章,我们考虑具跨音速掺杂分布的一维单极等温半导体HD模型的音速边值问题,其中将跨音速掺杂分布具体分为亚音速占优和超音速占优两种类型.首先,当掺杂分布是亚音速占优时,我们利用紧性分析,结合能量方法和Green函数法,证明了系统内部亚音速解的存在唯一性和内部超音速解的存在性,并在小松弛时间条件下应用相平面分析得到了上述解的不存在性.基于构造的思想,在大松弛时间条件下证明了该系统跨音速激波解的存在性.其次,当掺杂分布是超音速占优时,我们分类讨论了该问题各类稳态解的存在性和不存在性.在第三章,我们考虑具弱半导体效应的一维单极非等熵半导体HD模型的音速边值问题.其中弱半导体效应是指动量和能量松弛时间都充分大,这一假设使得系统是近似等熵的.在紧性的框架下,我们利用Schauder不动点定理证明了内部亚音速解的存在唯一性,并利用连续扰动的方法证明了内部超音速解和跨音速激波解的存在性.另外,当掺杂分布为亚音速常数时,通过相平面分析我们得到了C1-光滑跨音速解的存在性.在第四章,我们研究高维环域中单极等温半导体HD模型的音速边值问题径向解的适定性.首先我们利用Schauder不动点定理证明径向亚音速解的存在唯一性和径向超音速解的存在性,其中径向超音速解需要通过两步迭代才能得到.由于跨音速解的特殊构造恰好能够克服了系统非自治带来的困难,故而在大松弛时间下可以证明该系统存在无穷多径向跨音速激波解,在小松弛时间条件下得到了C1-光滑跨音速解.应用局部分析的思想,我们首先利用局部延拓法证明光滑跨音速解的存在性,再通过局部逼近的方法得到该解的C1-正则性.
杨涛[4]（2021）在《几类椭圆型方程（组）的约束变分以及自由变分问题的研究》文中提出本文主要研究含Sobolev临界指数的Kirchhoff-型方程、Gross-Pitaevskii方程规范化解的存在性与渐近性,带有Hardy项的双临界分数次Laplace方程非平凡弱解的存在性和乘积Sobolev空间中修正的Sobolev不等式及其在带有Hardy项的双临界分数次Laplace方程组中的应用.本文总共有五章.在第一章中,我们阐述了本文所研究问题的背景及国内外研究现状,并且介绍了本文的主要工作及相关的预备知识和符号.在第二章中,我们研究了 R3中一类含Sobolev临界指数的Kirchhoff-型方程-（a+b∫R3|▽u|2）Δu=λu+|u|p-2u+μ|u|q-2u,x ∈ R3规范化解的存在性与渐近性,其中a>0,b>0,2<q<14/3<p≤6或14/3<q<p≤6,μ>0且λ ∈R是待定的且以拉格朗日乘子出现.对于上述范围内的p和q,方程所对应的能量泛函在给定的L2-球面上无下界,我们仍考虑了 Sobolev临界p=6的情形.若2<q<10/3且14/3<p<6,我们找到了该方程的两个规范化解.若2<q<10/3<p=6或14/3＜q＜p≤6,我们找到了该方程的规范化基态解.进一步,我们也给出了上述规范化解的渐近性.我们的主要结果将N.Soave（J.Differential Equations 2020&J.Funct.Anal.2020）关于 Schrodinger 方程的结果推广到了Kirchhoff-型方程.在第三章中,我们研究了 R3中一类带有三体缺失的Gross-Pitaevskii方程-1/2Δu+λ1|u|2u+λ2（K*|u|2）u+λ3|u|p-2u+ωu=0,x ∈ R3,规范化基态解的存在性,渐近性,稳定性以及解的具体刻画,其中2<p<10/3,（λ1,λ2,λ3）∈R2×R-,*表示卷积,K（x）=1-3cos2θ（x）/|x|3,θx)是（0,0,1）和x ∈R3 之间的夹角且ω∈R是待定的且以拉格朗日乘子出现.当用来描述非线性项之间作用强度的物理参数落在某个范围时,方程所对应的能量泛函在给定的L2-球面上无下界,不能合理地定义全局极小化问题,因此我们转而考虑一个局部极小化问题来证明该方程的规范化基态解的存在性.进一步,我们证明了它在相应的Cauchy流作用下是稳定的.最后,通过修正规范化基态能量的上界,我们得到了在质量消失时该规范化基态解的精确刻画.在第四章中,我们研究了Rn上带有Hardy项的双临界分数次Laplace方程的非平凡弱解的存在性.为解决该问题,我们首先借助加权Morrey空间来建立一些新的Sobolev不等式.本章的主要结果已发表在（Acta Math.Sci.Ser.B（Engl.Ed.）,40,1808-1830,2020）.在第五章中,我们证明了乘积Sobolev空间中含有加权Morrey范数的修正的Sobolev不等式并给出了其在带有Hardy项的双临界分数次Laplace方程组中的应用.本章的主要结果已于2020年发表在（Discrete Contin.Dyn.Syst.Ser.S,doi:10.3934/dcdss.2020469）.
高俊磊[5]（2021）在《二维管道中亚音流与跨音激波稳定性的数学分析》文中进行了进一步梳理本文用数学方法研究亚音速流与跨音激波的稳定性.我们在二维直管道中,分别考虑热交换效应对跨音激波稳定性的影响,以及带添质效应亚音速流的稳定性.本文首先研究二维管道中热交换效应对跨音激波稳定性的影响.跨音激波在超音速喷管的气动设计中起着至关重要的作用.以往的研究表明,对于恒定截面直管道中的定常可压缩Euler流,在对管道进口处的超音速来流和出口处压强的扰动下,得到的跨音激波是不稳定的.但是在物理实验中观察到的跨音激波却是稳定的.若将直管道改换成扩张形或在流动过程中考虑摩擦力的影响,则按照上述方式扰动下的跨音激波却有稳定性.我们以瑞利流1为模型,进一步探究在二维直管道中具有热交换效应的定常可压缩Euler流,在上述扰动下的跨音激波是否也具有稳定性?我们证明了对于给定单位质量气体的热交换,当上游管道进口处超音速来流和下游出口处压强的扰动满足一定的对称条件时,可以得到几乎所有对应的一维跨音激波都是稳定的,而对于给定单位体积气体的热交换,由此确定的一维跨音激波是不稳定的.数学上,我们研究了双曲-椭圆复合型守恒律方程组的非线性自由边界问题.通过特征分解将亚音速Euler系统的椭圆部分和双曲部分在Lagrange坐标系中解耦.由于热交换效应在流场中具有更加复杂的相互作用,我们通过Fourier分析和对常微分方程边值问题的细致分析,研究了一类具有非局部边界条件的较一般的线性变系数一阶椭圆双曲强耦合系统的适定性.本文还研究二维直管道中具有添质效应亚音速流的稳定性.研究添质问题的目的是为了进一步探究在对管道进口处的超音速来流和出口处压强的扰动下,添质效应对跨音激波是否也具有稳定性做准备工作.我们在二维等截面直管道中构建一类只依赖管道轴向x的亚音速特解,通过证明这种特殊的亚音速流关于进出口适当边界条件的二维扰动的亚音速解的稳定性,表明该边值问题提法的合理性.由于亚音速Euler方程组是拟线性椭圆-双曲复合型的,处理这类问题一般的方法是将方程组的椭圆与双曲模式分离.然而,在添质问题中的质量守恒方程含有源项,导致通常在二维情形采用Lagrange坐标变换和特征分解将椭圆与双曲模式分离的办法失效.为此,我们构建了一种新的将Euler方程组的椭圆模式与双曲模式主部分离,低阶项耦合的分解方式.由于添质效应使得流场具有更强的相互作用,进而诱导了一类含有多个积分非局部项的二阶椭圆型方程混合边值问题.我们综合利用Fourier分析、线性代数、解析函数理论和二阶椭圆型方程正则性理论,得到了该类问题的适定性.特别地,我们在一类x向异性Holder空间与通常的Holder空间中分别研究输运方程组与二阶椭圆方程型的正则性,并以此为基础设计非线性迭代格式,得到的所有物理量具有一样的正则性.下面简单介绍本文的结构安排.第一章是绪论,介绍本文的研究背景,提出了本文关心的问题以及主要结果.在第二章,给出了本文所需要的一些基础知识.在第三章,利用隐函数定理分别构造一维情形瑞利流的亚音速、超音速、跨音激波特解和添质问题的亚音速特解.在第四章,我们在第4.1节将原问题在Lagrange坐标中重新表述,通过线性化将其转化成一个具有非局部边界条件的一阶线性双曲-椭圆耦合型方程组固定边界问题和一个用于更新激波形状的常微分方程Cauch场问题.第4.2节,研究一类具有非局部边界条件的一阶线性双曲-椭圆耦合型方程组的适定性.在第4.3节中,构造非线性映射,通过映射压缩性来证明本文第一个主要结果.在第五章,我们在第5.1节,给出了带添质效应的Euler方程组在二维管道中的一个新的等价分解方式,其中包括熵与总焓的输运方程组Cauchy问题、压强满足的二阶椭圆型方程混合边值问题和切向速度在任意截面上沿着y轴方向的常微分方程两点边值问题.在第5.2节,由新的分解方式得到的方程与边界条件分别在背景解处作线性化,得到对应的线性化问题.在第5.3节,给出了三类典型问题——沿着x轴方向的变系数输运方程组Cauchy问题,具有多个积分型非局部项的二阶椭圆型方程混合边值问题和任意截面上沿着y轴方向的常分方程两点边值问题解的适定性与正则性定理.在第5.4节,证明具有添质效应的亚音速流的稳定性,完成本文第二个主要结果的证明.第六章包含了本文所用数学工具的细节.在第6.1节,证明了线性常微分方程组在Holder空间中解的正则性.在第6.2节,给出了x向异性Holder空间的一些性质.在第6.3节,给出了输运方程组在x向异性Holder空间中解的适定性定理的证明.第七章是对后续工作的设想.
孙慧[6]（2021）在《单极等熵半导体流体动力学模型的若干数学结果》文中研究表明单极等熵半导体HD（流体动力学）模型是具阻尼项的Euler-Poisson方程组.本文研究与其有关的两类数学问题,主要分为以下三个部分:第一部分是绪论.主要介绍半导体HD模型的研究背景和相关数学问题的研究现状,并简要概括本文的研究内容和主要结论.第二部分考虑当阻尼系数依赖时间时,单极等熵半导体HD模型的Cauchy问题.具体的阻尼项为-nu/（1+t）`λ,参数λ∈（-1,1）.其中,当λ<0时,我们称之为强阻尼;当λ>0时,称之为弱阻尼;当λ=0时,称之为常系数阻尼.首先,在第二章中,我们研究上述Cauchy问题的一维情形,其中λ∈（-1,0）∪（0,1）.对于λ∈（-1,0）的强阻尼情形,可证得该系统存在唯一整体光滑解,并且该解以速率（1+t）?（α>0）渐近收敛到单极半导体漂移扩散模型的稳态解;对于λ∈（0,1）的弱阻尼情形,当掺杂分布为正常数时,可证得该系统存在唯一整体光滑解,且此解以速率（1+t）?（β>0）渐近收敛到一个常态解,其中θ∈[λ,∞)是依赖于初始扰动的指标.其次,在第三章中,我们研究上述Cauchy问题的高维情形,其中λ∈（0,1）.当掺杂分布为正常数时,可证得高维系统存在唯一整体光滑解,并且该解以速率（1+t）?（η>0）渐近收敛到一个常态解,其中υ∈[λ,∞)仍然是一个与初始扰动有关的指标.事实上,当初始扰动退化为零时,收敛速率中的指标θ和υ可以充分大,使得相应收敛速率中的代数部分可以充分快.另外,上述结果表明:与常系数阻尼对应的指数收敛速率e-νt（ν>0）相比,无论是λ∈（0,1）的弱阻尼还是λ∈（-1,0）的强阻尼都会导致系统解的收敛速率变慢,并且强阻尼对应的速率要比弱阻尼慢.由此可见,系数依赖时间的阻尼效应会影响Euler-Poisson方程组解的渐近行为.第三部分即第四章,我们考虑常系数阻尼效应下,半直线上单极等熵半导体HD模型初边值问题光滑解的长时间渐近行为,其边界条件分别是物理上的内流/外流/无渗透边界和绝缘边界.首先,因为上述边界效应在决定解的渐近形态时会造成困难,所以我们对稳态问题在无穷远处提出合适的边界条件使得该问题适定,从而可将稳态解作为原初边值问题解的渐近形态.其次,由于原初边值问题的解和渐近形态在无穷远处存在L2-意义下的边界差异,故我们构造合适的校正函数去消除上述差异.然后,通过能量估计,可证得原初边值问题的解渐近收敛到它的渐近形态.最后,通过数值模拟可以看出,对不同的边界,其渐近形态的曲线明显不同.
祖阁[7]（2021）在《几类非线性波方程解爆破性和渐近性的研究》文中研究说明本文主要对几类具阻尼项和源项的非线性波方程展开定性研究.分析了耗散项（强阻尼项或弱阻尼项）和源项（幂函数源项、对数源项、变指数源项）相互作用的机械行为对方程解的爆破性、整体存在性以及渐近稳定性的影响.具体地,论文分为五章:第一章为绪论.本章介绍了研究问题的背景和国内外研究现状.进一步还叙述了本文使用的方法和结果以及创新点.最后给出了必要的预备知识.第二章,致力于研究下述具有耗散项和幂函数源项的波方程的初边值问题（?）其中Ω是Rn（n≥1）中边界光滑的有界区域,T>0,初值u0∈H01（Ω）,u1∈L2（Ω）,ω≥0,μ>-ωλ1,这里λ1为算子-△在Dirichlet边界条件下的第一特征值,指数p满足#12对问题（1）解的爆破性和渐近行为的研究主要假设初始能量值为次临界和临界情形,而对初始能量值为超临界情形时,相关结果较少.其主要困难在于无法给出类似于Nehari流形确定的不变子集.在本章中,我们通过构造一个新的控制泛函,给出了解的L2范数的一个下界估计,结合修正的Levine凹方法和能量估计法证明了解在有限时刻爆破,同时给出了解生命跨度的上界估计.另外,我们通过构造新的控制函数,给出了源项、扩散项和能量泛函之间的定量关系,结合Komornik不等式给出了解的衰减估计,进而给出了解的渐近稳定性结果的证明.最后,我们还给出了一些数值模拟演示主要结果的合理性.第三章,讨论如下具强阻尼项和非线性对数源项的波方程的初边值问题（?）其中指数q满足2<q<+∞,若n=1,2;2<q<2*=2n/n-2,若n≥3.不同于问题（1）,对数源是一类介于线性源与幂函数源之间的具有特殊物理背景意义的非线性源.如何分析其对解行为的影响是一个有意思的问题.众所周知,对于初始能量为超临界情形,一方面,我们无法给出类似Nehari流形确定的不变子集,另一方面,如何使用对数型Sobolev嵌入不等式来确定扩散项与源项之间的定性关系,在数学上有着不小的挑战.我们通过对一个新的控制泛函的定性分析,在纠正常数意义下确立了解的L2范数与能量泛函的等价关系.进而,通过发展Levine凹方法和一些微分不等式技巧证明了解在有限时间内爆破,同时给出了解生命跨度的上界估计.另外当q>2n-2/n-2时,Sobolev嵌入定理H01（Ω）→L2q-2（Ω）不成立,传统的分析解生命跨度下界的方法失效.为了克服这些困难,我们引入带有小耗散项的控制函数,然后利用能量估计和微分不等式技巧给出了弱解生命跨度的下界估计.第四章,研究具强阻尼项、变指数源项和m（x）-Laplace算子的拟线性波方程的初边值问题（?）指数m（x）,k（x）连续且满足下述条件2≤m-≤m（x）≤m+<∞,1<k-≤k（x）≤k+<∞.当指数m（x）∈[m-（1+2n-2m+nm/2n（n-m））,nm-/n-m-]时,Sobolev嵌入不等式不成立,所以我们不能利用m=2时的研究方法分析解生命跨度的下界估计.为了克服这个困难,我们借助插值不等式和能量估计对所研究问题的弱解建立了带纠正常数的反向Holder不等式,进一步通过构造具小耗散项的能量函数,并结合反向Holder不等式和能量估计给出了能量函数所满足的一阶非线性微分不等式,最后通过分析微分不等式解的性质,获得了弱解生命跨度的下界估计.第五章,总结本文的创新之处以及主要结果.给出了本文后续工作和进一步拟展开研究的问题.
段礼鹏[8]（2021）在《几类非线性椭圆型方程解的相变和涡旋现象的研究》文中指出本篇博士论文主要运用变分方法和Lyapunov-Schmidt约化技术研究Ginzburg-Landau系统、p-Ginzburg-Landau系统以及Allen-Cahn方程等几类非线性椭圆型方程和方程组具有涡旋、相变性质的解的存在性和稳定性等问题.全文共四章:在第一章中,我们主要介绍一些Ginzburg-Landau方程和Allen-Cahn方程的研究背景和当前的研究现状,并对全文内容作简要的介绍.在本文第二章,我们考虑一类耦合的Ginzburg-Landau系统径向涡旋解的稳定性问题.考虑定义在R2上的Ginzburg-Landau系统其中A+,A->0,B2<A+A-,t+,t->0.关于上述方程,A.Alama 和 Q.Gao 在文献 J.Differential Equations 255（2013）,3564-3591中给出了一类度向量为（1,1）的径向涡旋解w=（w+,w-）:R2→C2.我们考虑上述方程在w处的线性化算子L并证明当B<0时涡旋解w的非退化性结果,即线性化算子L在给定的Hilbert空间的核空间为（?）张成.作为上述非退化性结果的应用,我们将会给出线性化算子L的可解性理论.紧接着,在第三章中我们考虑了如下一类定义在R2上的耦合的p-Ginzburg-Landau系统其中参数满足条件A+.A->0,A02<A+A-,t+,t->0,p>2.我们研究上述p-Ginzburg-Landau系统形如u（x）=（Up+（r）ein+θ,Up-（r）ein-θ）,（n+,n-）∈Z2的径向涡旋解的存在性、唯一性、正则性等问题.同时,我们通过验证上述系统能量泛函的二阶变分的正定性来给出Up=（Up+,Up-）在径向对称函数空间中的稳定性方面的结果.在本文第四章,我们将考虑如下带有非均匀位势的Allen-Cahn方程ε2Δu+V（y）（1-u2）u=0 x ∈ Ω,（?）,其中Ω为R2上的光滑有界区域,ε>0为小参数,v为边界（?）上的单位外法方向,V（y）（?）C为Ω上的正的光滑函数.我们证明了,对给定的正整数N≥ 2,当（?）上的广义平均曲率H为正时,则存在子列εl→0使上述Allen-Cahn方程在边界（?）附近具有N重相变结构的簇解uεl,且可验证边界和相变层的距离为O（εl|lnεl|）.我们的研究是 A.Malchiodi,W.-M.Ni 和 J.Wei 在 2007 年发表于 Pacific J.Math.和J.Fixed Point Theory Appl.上的结果在二维情形下的一个自然的推广.
史小燕[9]（2020）在《两类非线性微分方程解的多重性研究》文中认为本学位论文主要运用变分方法和不同类型的临界点定理,分别探讨了一类含p-Laplacian算子的非齐次Choquard方程和一类具有两个参数的扰动分数阶微分系统解的存在性和多重性,得到了一些新的结果.全文共由四章组成,具体安排为:第一章介绍了论文选题的研究背景和研究意义,阐述了研究方向的发展现状以及给出了与本文相关的预备理论知识,同时简述了本文的主要工作.第二章讨论了一类含p-Laplacian算子的非齐次Choquard方程解的多重性问题.当位势函数V（x）及扰动项g（x）满足适当条件时,利用Nehari流形、Minimax方法和Ekeland变分原理证明了该非齐次Choquard方程至少存在两个非平凡解.所获得的多重解结论改进和推广了相关文献的结果.第三章研究了一类含两个参数且满足Dirichlet边值条件的非线性分数阶微分系统.当非线性项uF和vF的原函数F在原点附近满足次二次性和在无穷远处满足渐近二次性增长条件,且非线性项uG和vG的原函数G满足一般的增长性条件以及扰动函数满足Lipschitz条件时,利用变分方法并结合Ricceri三临界点定理证明了该系统至少存在三个弱解,同时给出了两个数值实例验证了所得主要结果的有效性.在第四章中总结了本文的主要研究内容、研究方法以及研究结果,同时对今后的研究内容进行了简要的展望.
宋达[10]（2020）在《环境驱动下的浮游植物生长机制的模型研究》文中提出本文利用动力学模型的方法,探究环境驱动下的浮游植物生长机制.主要研究工作如下.环境随机性是无处不在的,而环境随机性对浮游植物生长的影响机制尚不明确.为此,本文建立了受环境随机性影响的浮游植物生长模型.定义了随机生态再生指标用于刻画系统的全局动力学.数值模拟揭示了环境随机性、温度、光照强度及营养盐含量对浮游植物生长的影响.研究表明,环境随机性对浮游植物生长具有抑制作用.通过假设检验及区间估计等统计学方法,预测了浮游植物在不同的环境噪声、温度、光照强度及营养盐含量的条件下种群密度的变化范围.浮游植物在其生境中的空间演变规律也是其生长机制研究中的热点之一.本文随后就此问题,基于空间异质性假设,建立了刻画浮游植物生长的反应扩散系统.通过抛物型及椭圆型方程理论分析了系统的动力学性质,同时建立了产生Turing不稳定现象的充分条件.数值模拟探究了浮游植物在不同的温度、光照强度及营养盐含量条件下的时空演变规律.结果显示,当浮游植物的扩散速度小于营养盐的扩散速度时,系统将呈现丰富的空间分布形式.前面的研究均假设温度和光照强度为常值,难以刻画浮游植物在自然环境中季节性爆发的事实.为了探究浮游植物季节性爆发机制,考虑由季节驱动而引起光照强度的变化对浮游植物生长的影响,建立了基于生态化学计量学的浮游植物生长模型.通过重合度理论和Liapunov方法研究了系统正周期解的存在性和稳定性.数值模拟探究了季节周期性及营养盐含量对浮游植物生长的影响.研究表明,浮游植物的密度随时间呈周期性变化.同时,由于考虑了化学元素配比对浮游植物生长的影响,过高的营养盐含量同样会限制浮游植物的生长.由于模型预测和实测数据拟合程度较好,因此模型具有较强的可行性.模型为季节性浮游植物爆发的控制措施提供了一定的理论依据.
二、椭圆型方程能量积分渐近展开的乘积定理（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、椭圆型方程能量积分渐近展开的乘积定理（论文提纲范文）
（1）几类分数阶随机发展方程的解和控制问题（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题的背景和意义 |
| 1.1.1 课题的背景 |
| 1.1.2 课题的意义 |
| 1.2 课题的研究现状 |
| 1.2.1 空间分数阶随机反应扩散方程 |
| 1.2.2 时间-空间分数阶随机反应扩散方程 |
| 1.2.3 具延迟混合噪声驱动的时间-空间分数阶随机反应扩散方程 |
| 1.3 本论文的主要研究内容 |
| 第2章 预备知识 |
| 2.1 分数阶微分算子 |
| 2.1.1 基本解 |
| 2.1.2 解算子 |
| 2.1.3 分数阶Laplace算子特征值问题 |
| 2.2 随机过程和随机积分 |
| 2.2.1 Q-Brown运动 |
| 2.2.2 分数阶Brown运动及其随机积分 |
| 2.2.3 Poisson跳及其随机积分 |
| 2.3 辅助工具 |
| 2.4 本章小结 |
| 第3章 空间分数阶随机扩散控制系统 |
| 3.1 问题的引入 |
| 3.2 弱解的存在唯一性 |
| 3.3 最优控制问题 |
| 3.4 例子 |
| 3.5 本章小结 |
| 第4章 分数阶Brown运动和Poisson跳驱动的时间-空间分数阶随机控制问题 |
| 4.1 温和解的存在唯一性 |
| 4.2 最优控制问题 |
| 4.3 例子 |
| 4.4 本章小结 |
| 第5章 具延迟混合噪声驱动的时间-空间分数阶随机控制问题 |
| 5.1 问题的引入 |
| 5.2 温和解的存在唯一性 |
| 5.2.1 线性分数阶噪声 |
| 5.2.2 非线性分数阶噪声 |
| 5.2.3 解的估计 |
| 5.3 渐近能控性 |
| 5.4 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表的论文及其他成果 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
（2）无界Hamilton算子广义本征向量组的基性质研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 Hamilton系统的简介 |
| 1.2 Hamilton系统的辛方法 |
| 1.2.1 Hamilton系统的辛几何算法 |
| 1.2.2 弹性力学求解辛体系 |
| 1.3 弹性力学求解辛体系中涉及的一些课题 |
| 1.3.1 无穷维Hamilton系统反问题 |
| 1.3.2 无穷维Hamilton算子本征向量组的基性质 |
| 1.3.3 无穷维Hamilton算子的谱理论 |
| 1.4 本文的主要工作 |
| 第二章 一类2×2Hamilton算子广义本征向量组的基性质 |
| 2.1 预备知识 |
| 2.2 主要结果 |
| 2.3 在矩形薄板问题中的应用 |
| 第三章 一类3×3算子矩阵广义本征向量组的基性质 |
| 3.1 基本引理 |
| 3.2 本征值的代数指标 |
| 3.3 本征向量组的正交性 |
| 3.4 主要结果 |
| 3.5 在矩形中厚板问题中的应用 |
| 第四章 一类4×4Hamilton算子广义本征向量组的基性质 |
| 4.1 本征值和本征向量 |
| 4.2 本征值的代数指标 |
| 4.3 本征向量组的块状基性质 |
| 4.4 在矩形薄板问题中的应用 |
| 第五章 一类源于薄板问题的偏微分方程的辛分析 |
| 5.1 基本问题和Hamilton系统 |
| 5.1.1 本征值和本征向量 |
| 5.1.2 辛正交性和完备性 |
| 5.1.3 通解 |
| 5.2 在矩形薄板问题中的应用 |
| 5.2.1 本征值是单根的情况 |
| 5.2.2 本征值有重根的情况 |
| 5.3 数值结果和比较 |
| 第六章 二维八次对称准晶体平面弹性问题的辛分析 |
| 6.1 点群8mm八次对称准晶体的平面弹性问题 |
| 6.1.1 点群8mm八次对称准晶体的Hamilton系统 |
| 6.1.2 本征值和本征向量 |
| 6.1.3 辛正交性和完备性 |
| 6.1.4 通解 |
| 6.2 数值算例 |
| 6.3 Laue 15 类八次对称准晶体的平面弹性问题 |
| 6.3.1 Laue 15类八次对称准晶体的Hamilton系统 |
| 6.3.2 Laue 15 类八次对称准晶体的最终控制方程 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 主要符号表 |
| 附录 第六章的一些结果 |
| 致谢 |
| 硕博连读期间的研究成果 |
（3）单极半导体流体动力学模型音速边值问题的适定性（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景及研究现状 |
| 1.2 研究问题和主要结果 |
| 第2章 具跨音速掺杂分布的一维单极等温半导体HD模型音速边值问题 |
| 2.1 内部亚音速解/内部超音速解/跨音速解的定义 |
| 2.2 亚音速占优的掺杂分布 |
| 2.2.1 内部亚音速解的存在唯一性 |
| 2.2.2 内部超音速解的存在性 |
| 2.2.3 内部亚音速解和内部超音速解的不存在性 |
| 2.2.4 跨音速解的存在性 |
| 2.3 超音速占优的掺杂分布 |
| 2.3.1 内部亚音速解/内部超音速解/跨音速解的不存在性 |
| 2.3.2 内部超音速解/跨音速解的存在性 |
| 第3章 具弱半导体效应的一维单极非等熵半导体HD模型音速边值问题 |
| 3.1 内部亚音速解/内部超音速解/跨音速解的定义 |
| 3.2 无半导体效应时解的存在性 |
| 3.3 弱半导体效应下解的存在性 |
| 3.4 C~1-跨音速解的存在性 |
| 第4章 高维环域上单极等温半导体HD模型的音速边值问题 |
| 4.1 问题的转化及解的定义 |
| 4.2 径向亚音速解的存在唯一性 |
| 4.3 径向超音速解的存在性 |
| 4.4 径向跨音速解的存在性 |
| 总结 |
| 后续研究 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在学期间公开发表(投稿)论文情况 |
（4）几类椭圆型方程（组）的约束变分以及自由变分问题的研究（论文提纲范文）
| 内容摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 问题的背景及研究现状 |
| 1.2 本文的记号 |
| 1.3 定义及引理 |
| 1.4 本文的主要工作 |
| 1.5 结构安排 |
| 第二章 含Sobolev临界指数的Kirchhoff型方程规范化解的存在性与渐近性 |
| 2.1 问题的提出及主要结果 |
| 2.2 预备知识 |
| 2.3 E_(μ|S_c)上的Palais-Smale序列的紧性分析 |
| 2.4 混合L~2-临界的情形 |
| 2.4.1 混合L~2-临界情形下E_(μ|S_c)的某些临界点的精确位置和类型 |
| 2.4.2 混合L~2-临界情形下的存在性和渐近性结果的证明 |
| 2.5 纯L~2-超临界的情形 |
| 2.5.1 纯L~2-超临界的情形下E_(μ|S_c)的某些临界点的精确位置和类型 |
| 2.5.2 纯L~2-超临界情形下的存在性和渐近性结果的证明 |
| 第三章 带有三体缺失的Gross-Pitaevskii方程的规范化基态解的存在性与渐近性 |
| 3.1 问题的提出及主要结果 |
| 3.2 预备知识 |
| 3.3 局部极小化问题的紧性分析 |
| 3.4 修正的能量上界估计 |
| 3.5 定理3.1.1-3.1.2的证明 |
| 第四章 R~n上带有Hardy项的双临界分数次Laplace方程非平凡弱解的存在性 |
| 4.1 问题的提出及主要结果 |
| 4.2 预备知识 |
| 4.3 H~s(R~n)空间中修正的Sobolev不等式 |
| 4.4 极小化问题(4.1.10)-(4.1.11)可达 |
| 4.5 定理4.1.1的证明 |
| 第五章 乘积Sobolev空间中修正的Sobolev不等式及其在双临界耦合方程组中的应用 |
| 5.1 问题的提出及主要结果 |
| 5.2 预备知识 |
| 5.3 定理5.1.1-5.1.4的证明 |
| 5.4 极小化问题(5.1.23)-(5.1.24)可达 |
| 5.5 定理5.1.5的证明 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间已发表和待发表的论文 |
| 致谢 |
（5）二维管道中亚音流与跨音激波稳定性的数学分析（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 问题来源 |
| 1.2 二维等截面直管中瑞利流的跨音激波稳定性问题及主要结果 |
| 1.2.1 瑞利流的跨音激波稳定性问题 |
| 1.2.2 主要结果 |
| 1.3 二维等截面直管道中带添质效应的亚音速定常可压缩Euler流稳定性问题及主要结果 |
| 1.3.1 带添质效应的亚音速定常可压缩Euler流的稳定性问题 |
| 1.3.2 主要结果 |
| 第二章 符号说明与基础知识 |
| 2.1 符号说明 |
| 2.2 基础知识 |
| 第三章 一维定常特解及其性质 |
| 3.1 热交换问题的一维定常特解 |
| 3.1.1 求解情形(A)的热交换问题一维定常特解的常微分方程组 |
| 3.1.2 求解情形(B)的热交换问题一维定常特解的常微分方程组 |
| 3.2 求解添质问题一维定常亚音速特解的常微分方程组 |
| 3.2.1 亚音速特解 |
| 第四章 热交换对跨音激波稳定性的影响 |
| 4.1 问题(P)的转化 |
| 4.1.1 在Lagrange坐标中的问题(P) |
| 4.1.2 特征分解 |
| 4.1.3 自由边值问题(FB)的线性化 |
| 4.2 具有非局部边界条件的线性椭圆-双曲耦合型方程组 |
| 4.2.1 唯一性和S-条件 |
| 4.2.2 先验估计 |
| 4.2.3 解的存在性 |
| 4.3 定理4.1的证明 |
| 4.3.1 迭代集合 |
| 4.3.2 非线性映射τ |
| 4.3.3 τ的压缩性 |
| 第五章 添质对亚音流稳定性的影响 |
| 5.1 分解引理 |
| 5.1.1 添质问题的分解引理 |
| 5.2 压强的方程与边界条件和等价问题Ⅱ |
| 5.2.1 化简压强p的方程和进口处的边界条件 |
| 5.2.2 线性化和等价问题Ⅲ |
| 5.3 典型问题 |
| 5.3.1 典型问题1: 总焓和熵满足的变系数输运方程组的Cauchy问题 |
| 5.3.2 典型问题2: 压强p的带有多个积分型非局部项的二阶椭圆型方程混合边值问题 |
| 5.3.3 典型问题3: 在截面上切向速度v满足的常微分方程两点边值问题 |
| 5.4 迭代格式 |
| 5.4.1 构造迭代映射τ |
| 5.4.2 τ的压缩性 |
| 5.4.3 映射τ在X_(Mε)中存在唯一不动点 |
| 5.4.4 提升切向速度v关于法向的正则性 |
| 第六章 附录 |
| 6.1 线性常微分方程组在Holder空间中解的正则性 |
| 6.2 x向异性Holder空间 |
| 6.3 定理5.1的证明 |
| 第七章 后续工作的展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 作者在学期间的科研成果 |
（6）单极等熵半导体流体动力学模型的若干数学结果（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| §1.1 研究背景及现状 |
| §1.2 本文研究问题与主要结果 |
| §1.3 预备知识 |
| 第2章 阻尼系数依赖时间的一维单极半导体HD模型的Cauchy问题 |
| §2.1 主要结果 |
| §2.2 λ∈(-1,0)的强阻尼情形 |
| §2.3 λ∈(0,1)的弱阻尼情形 |
| 第3章 具弱阻尼的高维单极半导体HD模型的Cauchy问题 |
| §3.1 主要结果和问题的转化 |
| §3.2 主要结果的证明 |
| 第4章 具物理边界效应的一维单极半导体HD模型的初边值问题 |
| §4.1 两种边界类型及其主要结果 |
| §4.2 内流/外流/无渗透问题 |
| §4.3 绝缘问题 |
| §4.4 数值模拟 |
| 总结 |
| 后续研究 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在学期间公开发表(投稿)论文情况 |
（7）几类非线性波方程解爆破性和渐近性的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景及进展概况 |
| 1.2 本文主要内容概述 |
| 1.3 预备知识 |
| 第2章 具强阻尼项和幂函数源项的半线性波方程 |
| 2.1 问题介绍 |
| 2.2 解的爆破性及弱解生命跨度的上界估计 |
| 2.3 整体弱解的存在性以及能量泛函的衰减估计 |
| 2.4 数值模拟 |
| 第3章 具强阻尼项和非线性对数源项的半线性波方程 |
| 3.1 问题介绍 |
| 3.2 解的爆破性和弱解生命跨度的上界估计 |
| 3.3 弱解生命跨度的下界估计 |
| 第4章 具变指数源项和m(x)-Laplace算子的拟线性波方程 |
| 4.1 问题介绍 |
| 4.2 具常指数源项和m-Laplace算子的拟线性波方程 |
| 4.3 变指数函数空间 |
| 4.4 具变指数源项和m(x)-Laplace算子的拟线性波方程 |
| 总结 |
| 参考文献 |
| 作者简介及在学期间所取得的科研成果 |
| 致谢 |
（8）几类非线性椭圆型方程解的相变和涡旋现象的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 问题的背景及研究现状 |
| 1.1.1 Ginzburg-Landau方程和Ginzburg-Landau系统径向对称涡旋解的研究 |
| 1.1.2 p-Ginzburg-Landau方程径向对称涡旋解的研究背景 |
| 1.1.3 Allen-Cahn方程解的相变现象 |
| 1.2 常用的定理和记号 |
| 1.3 本文的主要结果及重难点分析 |
| 1.3.1 Ginzburg-Landau方程涡旋解的稳定性问题 |
| 1.3.2 p-Ginzburg-Landau系统径向涡旋解 |
| 1.3.3 非均匀Allen-Cahn方程靠近边界处的多重相变层 |
| 1.4 结构安排 |
| 第二章 关于一类耦合的Ginburg-Landau方程径向涡旋解的非退化性的研究 |
| 2.1 引言与主要结果 |
| 2.2 径向涡旋解的非退化性 |
| 2.2.1 非退化性的证明 |
| 2.2.2 非退化性结果的应用:Fredholm选择定理 |
| 第三章 一类带有耦合项的p-Ginzburg-Landau系统涡旋解的研究 |
| 3.1 引言和主要结果 |
| 3.2 径向涡旋解 |
| 3.3 解的稳定性分析 |
| 第四章 非均匀Allen-Cahn方程的边界相变簇解 |
| 4.1 引言及主要结果 |
| 4.2 方程在边界附近的局部形式 |
| 4.3 局部近似解 |
| 4.3.1 相变层函数f_1,…,f_N近似的推导 |
| 4.3.2 首次近似解 |
| 4.3.3 第二次近似解 |
| 4.3.4 第三次近似解 |
| 4.4 粘贴过程 |
| 4.5 推导约化方程 |
| 4.6 求解约化方程 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间已完成的论文 |
| 致谢 |
（9）两类非线性微分方程解的多重性研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.2.1 Choquard方程的研究现状 |
| 1.2.2 分数阶微分系统的研究现状 |
| 1.3 主要研究内容 |
| 1.4 预备知识 |
| 1.4.1 相关概念 |
| 1.4.2 相关的几个引理 |
| 第二章 一类含p-Laplacian算子的非齐次Choquard方程解的存在性 |
| 2.1 主要结果 |
| 2.2 变分结构和记号 |
| 2.3 主要引理及证明 |
| 2.4 极小化问题和Palais-Smale分析 |
| 2.5 主要定理证明 |
| 2.6 小结 |
| 第三章 一类含控制参数的非线性分数微分系统的多重解 |
| 3.1 主要结果 |
| 3.2 变分结构和主要引理 |
| 3.3 主要结果的证明 |
| 3.4 数值实例 |
| 3.5 小结 |
| 第四章 总结与展望 |
| 4.1 总结 |
| 4.2 研究展望 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间已发表的论文 |
| 致谢 |
（10）环境驱动下的浮游植物生长机制的模型研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 本文的主要工作 |
| 第2章 环境随机性对浮游植物生长的影响 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 预备知识 |
| 2.3 模型建立 |
| 2.4 模型分析 |
| 2.4.1 正解的全局存在唯一性 |
| 2.4.2 随机有界性 |
| 2.4.3 随机渐近稳定性 |
| 2.5 数值模拟 |
| 2.6 讨论 |
| 第3章 空间扩散对浮游植物生长的影响 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 预备知识 |
| 3.3 模型建立 |
| 3.4 模型分析 |
| 3.4.1 解的全局存在唯一性 |
| 3.4.2 非负常值平衡解的存在性及稳定性 |
| 3.4.3 系统(3.3.1)正平衡解的先验估计 |
| 3.4.4 非常值正平衡解的不存在性 |
| 3.4.5 非常值正平衡解的存在性 |
| 3.4.6 Turing不稳定性 |
| 3.5 数值模拟 |
| 3.6 讨论 |
| 第4章 季节周期性对浮游植物生长的影响 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 预备知识 |
| 4.3 模型建立 |
| 4.4 模型分析 |
| 4.4.1 正向不变性和耗散性 |
| 4.4.2 全局动力学 |
| 4.5 数值模拟 |
| 4.6 模型应用 |
| 4.7 讨论 |
| 结论与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在学期间公开发表（投稿）论文情况 |
四、椭圆型方程能量积分渐近展开的乘积定理（论文参考文献）
- [1]几类分数阶随机发展方程的解和控制问题[D]. 鄢立旭. 哈尔滨工业大学, 2021(02)
- [2]无界Hamilton算子广义本征向量组的基性质研究[D]. 乔艳芬. 内蒙古大学, 2021(10)
- [3]单极半导体流体动力学模型音速边值问题的适定性[D]. 陈亮. 东北师范大学, 2021(09)
- [4]几类椭圆型方程（组）的约束变分以及自由变分问题的研究[D]. 杨涛. 华中师范大学, 2021(02)
- [5]二维管道中亚音流与跨音激波稳定性的数学分析[D]. 高俊磊. 华东师范大学, 2021(08)
- [6]单极等熵半导体流体动力学模型的若干数学结果[D]. 孙慧. 东北师范大学, 2021(09)
- [7]几类非线性波方程解爆破性和渐近性的研究[D]. 祖阁. 吉林大学, 2021(02)
- [8]几类非线性椭圆型方程解的相变和涡旋现象的研究[D]. 段礼鹏. 华中师范大学, 2021(02)
- [9]两类非线性微分方程解的多重性研究[D]. 史小燕. 湖南工业大学, 2020(02)
- [10]环境驱动下的浮游植物生长机制的模型研究[D]. 宋达. 东北师范大学, 2020(02)